【三角函数基本公式大全三角函数公式大全有哪些】在数学学习中，三角函数是重要的基础内容之一，广泛应用于几何、物理、工程等领域。掌握三角函数的基本公式对于解题和理解相关知识具有重要意义。以下是对常见三角函数公式的总结，便于查阅和记忆。
一、三角函数基本定义
| 名称 | 定义式 | 公式 |
| 正弦（sin） | 对边 / 斜边 | $ \sin\theta = \frac{y}{r} $ |
| 余弦（cos） | 邻边 / 斜边 | $ \cos\theta = \frac{x}{r} $ |
| 正切（tan） | 对边 / 邻边 | $ \tan\theta = \frac{y}{x} $ |
| 余切（cot） | 邻边 / 对边 | $ \cot\theta = \frac{x}{y} $ |
| 正割（sec） | 斜边 / 邻边 | $ \sec\theta = \frac{r}{x} $ |
| 余割（csc） | 斜边 / 对边 | $ \csc\theta = \frac{r}{y} $ |
二、基本恒等式
| 公式 | 内容 |
| 基本关系 | $ \sin^2\theta + \cos^2\theta = 1 $ |
| 正切与余切关系 | $ \tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} $, $ \cot\theta = \frac{\cos\theta}{\sin\theta} $ |
| 正割与余割关系 | $ \sec\theta = \frac{1}{\cos\theta} $, $ \csc\theta = \frac{1}{\sin\theta} $ |
| 平方关系 | $ 1 + \tan^2\theta = \sec^2\theta $, $ 1 + \cot^2\theta = \csc^2\theta $ |
三、诱导公式（角度变换）
| 角度变换 | 公式 |
| $ \sin(-\theta) $ | $ -\sin\theta $ |
| $ \cos(-\theta) $ | $ \cos\theta $ |
| $ \sin(\pi - \theta) $ | $ \sin\theta $ |
| $ \cos(\pi - \theta) $ | $ -\cos\theta $ |
| $ \sin(\pi + \theta) $ | $ -\sin\theta $ |
| $ \cos(\pi + \theta) $ | $ -\cos\theta $ |
| $ \sin(2\pi - \theta) $ | $ -\sin\theta $ |
| $ \cos(2\pi - \theta) $ | $ \cos\theta $ |
四、和差角公式
| 公式 | 内容 |
| 正弦和差 | $ \sin(A \pm B) = \sin A \cos B \pm \cos A \sin B $ |
| 余弦和差 | $ \cos(A \pm B) = \cos A \cos B \mp \sin A \sin B $ |
| 正切和差 | $ \tan(A \pm B) = \frac{\tan A \pm \tan B}{1 \mp \tan A \tan B} $ |
五、倍角公式
| 公式 | 内容 |
| 正弦倍角 | $ \sin 2\theta = 2\sin\theta \cos\theta $ |
| 余弦倍角 | $ \cos 2\theta = \cos^2\theta - \sin^2\theta = 2\cos^2\theta - 1 = 1 - 2\sin^2\theta $ |
| 正切倍角 | $ \tan 2\theta = \frac{2\tan\theta}{1 - \tan^2\theta} $ |
六、半角公式
| 公式 | 内容 |
| 正弦半角 | $ \sin\left(\frac{\theta}{2}\right) = \sqrt{\frac{1 - \cos\theta}{2}} $ |
| 余弦半角 | $ \cos\left(\frac{\theta}{2}\right) = \sqrt{\frac{1 + \cos\theta}{2}} $ |
| 正切半角 | $ \tan\left(\frac{\theta}{2}\right) = \frac{\sin\theta}{1 + \cos\theta} = \frac{1 - \cos\theta}{\sin\theta} $ |
七、积化和差与和差化积
| 公式 | 内容 |
| 积化和差 | $ \sin A \cos B = \frac{1}{2}[\sin(A+B) + \sin(A-B)] $ $ \cos A \cos B = \frac{1}{2}[\cos(A+B) + \cos(A-B)] $ $ \sin A \sin B = \frac{1}{2}[\cos(A-B) - \cos(A+B)] $ |
| 和差化积 | $ \sin A + \sin B = 2\sin\left(\frac{A+B}{2}\right)\cos\left(\frac{A-B}{2}\right) $ $ \sin A - \sin B = 2\cos\left(\frac{A+B}{2}\right)\sin\left(\frac{A-B}{2}\right) $ $ \cos A + \cos B = 2\cos\left(\frac{A+B}{2}\right)\cos\left(\frac{A-B}{2}\right) $ $ \cos A - \cos B = -2\sin\left(\frac{A+B}{2}\right)\sin\left(\frac{A-B}{2}\right) $ |
八、三角函数的图像与性质
| 函数 | 定义域 | 值域 | 周期 | 奇偶性 |
| $ \sin x $ | $ (-\infty, +\infty) $ | $ [-1, 1] $ | $ 2\pi $ | 奇函数 |
| $ \cos x $ | $ (-\infty, +\infty) $ | $ [-1, 1] $ | $ 2\pi $ | 偶函数 |
| $ \tan x $ | $ x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi $ | $ (-\infty, +\infty) $ | $ \pi $ | 奇函数 |
| $ \cot x $ | $ x \neq k\pi $ | $ (-\infty, +\infty) $ | $ \pi $ | 奇函数 |
总结
以上内容涵盖了常见的三角函数基本公式，包括定义、恒等式、诱导公式、和差角、倍角、半角、积化和差、和差化积以及图像性质等。这些公式是解决三角函数问题的重要工具，建议结合实际题目进行练习和记忆，以达到熟练应用的目的。
