【三角函数公式总结大全】三角函数是数学中非常重要的一个分支，广泛应用于物理、工程、计算机科学等领域。掌握各种三角函数的公式，有助于提高解题效率和理解能力。以下是对常见三角函数公式的全面总结，便于查阅与复习。
一、基本定义
| 名称 | 定义式 | 说明 |
| 正弦函数 | $ \sin\theta = \frac{y}{r} $ | 直角三角形中对边与斜边比 |
| 余弦函数 | $ \cos\theta = \frac{x}{r} $ | 直角三角形中邻边与斜边比 |
| 正切函数 | $ \tan\theta = \frac{y}{x} $ | 对边与邻边之比 |
| 余切函数 | $ \cot\theta = \frac{x}{y} $ | 邻边与对边之比 |
| 正割函数 | $ \sec\theta = \frac{r}{x} $ | 斜边与邻边之比 |
| 余割函数 | $ \csc\theta = \frac{r}{y} $ | 斜边与对边之比 |
二、常用恒等式
| 公式名称 | 公式表达式 |
| 基本恒等式 | $ \sin^2\theta + \cos^2\theta = 1 $ |
| 正切与正割关系 | $ 1 + \tan^2\theta = \sec^2\theta $ |
| 余切与余割关系 | $ 1 + \cot^2\theta = \csc^2\theta $ |
| 倒数关系 | $ \sin\theta = \frac{1}{\csc\theta} $, $ \cos\theta = \frac{1}{\sec\theta} $, $ \tan\theta = \frac{1}{\cot\theta} $ |
| 商数关系 | $ \tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} $, $ \cot\theta = \frac{\cos\theta}{\sin\theta} $ |
三、诱导公式（角度变换）
| 角度变换 | 公式表达式 |
| $ \sin(-\theta) $ | $ -\sin\theta $ |
| $ \cos(-\theta) $ | $ \cos\theta $ |
| $ \tan(-\theta) $ | $ -\tan\theta $ |
| $ \sin(\pi - \theta) $ | $ \sin\theta $ |
| $ \cos(\pi - \theta) $ | $ -\cos\theta $ |
| $ \sin(\pi + \theta) $ | $ -\sin\theta $ |
| $ \cos(\pi + \theta) $ | $ -\cos\theta $ |
| $ \sin(2\pi - \theta) $ | $ -\sin\theta $ |
| $ \cos(2\pi - \theta) $ | $ \cos\theta $ |
四、和差角公式
| 公式名称 | 公式表达式 |
| 正弦和差公式 | $ \sin(A \pm B) = \sin A \cos B \pm \cos A \sin B $ |
| 余弦和差公式 | $ \cos(A \pm B) = \cos A \cos B \mp \sin A \sin B $ |
| 正切和差公式 | $ \tan(A \pm B) = \frac{\tan A \pm \tan B}{1 \mp \tan A \tan B} $ |
五、倍角公式
| 公式名称 | 公式表达式 |
| 正弦倍角公式 | $ \sin 2\theta = 2\sin\theta \cos\theta $ |
| 余弦倍角公式 | $ \cos 2\theta = \cos^2\theta - \sin^2\theta = 2\cos^2\theta - 1 = 1 - 2\sin^2\theta $ |
| 正切倍角公式 | $ \tan 2\theta = \frac{2\tan\theta}{1 - \tan^2\theta} $ |
六、半角公式
| 公式名称 | 公式表达式 |
| 正弦半角公式 | $ \sin\frac{\theta}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos\theta}{2}} $ |
| 余弦半角公式 | $ \cos\frac{\theta}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos\theta}{2}} $ |
| 正切半角公式 | $ \tan\frac{\theta}{2} = \frac{\sin\theta}{1 + \cos\theta} = \frac{1 - \cos\theta}{\sin\theta} $ |
七、积化和差公式
| 公式名称 | 公式表达式 |
| 正弦乘积公式 | $ \sin A \sin B = \frac{1}{2}[\cos(A - B) - \cos(A + B)] $ |
| 余弦乘积公式 | $ \cos A \cos B = \frac{1}{2}[\cos(A - B) + \cos(A + B)] $ |
| 正弦余弦乘积 | $ \sin A \cos B = \frac{1}{2}[\sin(A + B) + \sin(A - B)] $ |
八、和差化积公式
| 公式名称 | 公式表达式 |
| 正弦和差公式 | $ \sin A + \sin B = 2\sin\left( \frac{A+B}{2} \right)\cos\left( \frac{A-B}{2} \right) $ |
| 正弦差公式 | $ \sin A - \sin B = 2\cos\left( \frac{A+B}{2} \right)\sin\left( \frac{A-B}{2} \right) $ |
| 余弦和差公式 | $ \cos A + \cos B = 2\cos\left( \frac{A+B}{2} \right)\cos\left( \frac{A-B}{2} \right) $ |
| 余弦差公式 | $ \cos A - \cos B = -2\sin\left( \frac{A+B}{2} \right)\sin\left( \frac{A-B}{2} \right) $ |
九、三角函数图像与性质（简要）
| 函数 | 定义域 | 值域 | 周期性 | 奇偶性 | 单调区间（0~2π） |
| $ \sin x $ | $ \mathbb{R} $ | $ [-1, 1] $ | $ 2\pi $ | 奇函数 | 增：$ [0, \frac{\pi}{2}] $；减：$ [\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}] $ |
| $ \cos x $ | $ \mathbb{R} $ | $ [-1, 1] $ | $ 2\pi $ | 偶函数 | 增：$ [\pi, 2\pi] $；减：$ [0, \pi] $ |
| $ \tan x $ | $ x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi $ | $ \mathbb{R} $ | $ \pi $ | 奇函数 | 增：$ (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}) $ |
十、常见特殊角的三角函数值
| 角度（弧度） | $ \sin\theta $ | $ \cos\theta $ | $ \tan\theta $ |
| 0 | 0 | 1 | 0 |
| $ \frac{\pi}{6} $ | $ \frac{1}{2} $ | $ \frac{\sqrt{3}}{2} $ | $ \frac{\sqrt{3}}{3} $ |
| $ \frac{\pi}{4} $ | $ \frac{\sqrt{2}}{2} $ | $ \frac{\sqrt{2}}{2} $ | 1 |
| $ \frac{\pi}{3} $ | $ \frac{\sqrt{3}}{2} $ | $ \frac{1}{2} $ | $ \sqrt{3} $ |
| $ \frac{\pi}{2} $ | 1 | 0 | 不存在 |
以上就是三角函数的主要公式与相关知识点的总结。在学习和应用过程中，建议结合图形理解和记忆，并通过练习加深印象。希望这份资料能为你的学习提供帮助！
