【三角函数基本公式大全】在数学学习中，三角函数是一个非常重要的部分，广泛应用于几何、物理、工程等多个领域。掌握三角函数的基本公式，有助于快速解决相关问题，提高解题效率。本文将对常见的三角函数基本公式进行系统总结，并以表格形式呈现，便于查阅和记忆。
一、基本定义与关系
三角函数是基于直角三角形的边角关系定义的，也可以通过单位圆进行推广。以下是六种基本三角函数的定义：
| 函数名称 | 定义式 |
| 正弦（sin） | 对边 / 斜边 |
| 余弦（cos） | 邻边 / 斜边 |
| 正切（tan） | 对边 / 邻边 |
| 余切（cot） | 邻边 / 对边 |
| 正割（sec） | 斜边 / 邻边 |
| 余割（csc） | 斜边 / 对边 |
二、基本恒等式
三角函数之间存在许多重要的恒等关系，这些恒等式在解题过程中经常用到。
| 恒等式 | 表达式 |
| 基本恒等式 | $ \sin^2\theta + \cos^2\theta = 1 $ |
| 正切与余切关系 | $ \tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} $, $ \cot\theta = \frac{1}{\tan\theta} $ |
| 正割与余割关系 | $ \sec\theta = \frac{1}{\cos\theta} $, $ \csc\theta = \frac{1}{\sin\theta} $ |
| 平方恒等式 | $ 1 + \tan^2\theta = \sec^2\theta $, $ 1 + \cot^2\theta = \csc^2\theta $ |
三、诱导公式
诱导公式用于将任意角的三角函数转换为锐角的三角函数，适用于不同象限的角度。
| 角度变化 | 公式表达 |
| $ \sin(-\theta) $ | $ -\sin\theta $ |
| $ \cos(-\theta) $ | $ \cos\theta $ |
| $ \tan(-\theta) $ | $ -\tan\theta $ |
| $ \sin(\pi - \theta) $ | $ \sin\theta $ |
| $ \cos(\pi - \theta) $ | $ -\cos\theta $ |
| $ \sin(\pi + \theta) $ | $ -\sin\theta $ |
| $ \cos(\pi + \theta) $ | $ -\cos\theta $ |
| $ \sin(2\pi - \theta) $ | $ -\sin\theta $ |
| $ \cos(2\pi - \theta) $ | $ \cos\theta $ |
四、和差角公式
和差角公式用于计算两个角度之和或差的三角函数值。
| 公式类型 | 表达式 |
| 正弦和差公式 | $ \sin(A \pm B) = \sin A \cos B \pm \cos A \sin B $ |
| 余弦和差公式 | $ \cos(A \pm B) = \cos A \cos B \mp \sin A \sin B $ |
| 正切和差公式 | $ \tan(A \pm B) = \frac{\tan A \pm \tan B}{1 \mp \tan A \tan B} $ |
五、倍角公式
倍角公式用于计算一个角的两倍、三倍等的三角函数值。
| 公式类型 | 表达式 |
| 正弦倍角公式 | $ \sin 2\theta = 2\sin\theta \cos\theta $ |
| 余弦倍角公式 | $ \cos 2\theta = \cos^2\theta - \sin^2\theta = 2\cos^2\theta - 1 = 1 - 2\sin^2\theta $ |
| 正切倍角公式 | $ \tan 2\theta = \frac{2\tan\theta}{1 - \tan^2\theta} $ |
六、半角公式
半角公式用于计算一个角的一半的三角函数值。
| 公式类型 | 表达式 |
| 正弦半角公式 | $ \sin \frac{\theta}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos\theta}{2}} $ |
| 余弦半角公式 | $ \cos \frac{\theta}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos\theta}{2}} $ |
| 正切半角公式 | $ \tan \frac{\theta}{2} = \frac{\sin\theta}{1 + \cos\theta} = \frac{1 - \cos\theta}{\sin\theta} $ |
七、积化和差与和差化积公式
这些公式在处理三角函数乘积或和的形式时非常有用。
| 公式类型 | 表达式 |
| 积化和差（正弦） | $ \sin A \cos B = \frac{1}{2} [\sin(A+B) + \sin(A-B)] $ |
| 积化和差（余弦） | $ \cos A \cos B = \frac{1}{2} [\cos(A+B) + \cos(A-B)] $ |
| 积化和差（正弦+正弦） | $ \sin A \sin B = \frac{1}{2} [\cos(A-B) - \cos(A+B)] $ |
| 和差化积（正弦） | $ \sin A + \sin B = 2 \sin \frac{A+B}{2} \cos \frac{A-B}{2} $ |
| 和差化积（余弦） | $ \cos A + \cos B = 2 \cos \frac{A+B}{2} \cos \frac{A-B}{2} $ |
总结
三角函数的基本公式繁多，但它们之间有很强的关联性。熟练掌握这些公式，不仅有助于提升解题能力，还能加深对三角函数本质的理解。建议在实际应用中结合图形理解，灵活运用这些公式，才能真正掌握三角函数的核心内容。
