【数学期望怎么求】数学期望是概率论与数理统计中的一个重要概念，广泛应用于实际问题的分析和决策中。它反映了随机变量在大量重复试验中所取值的平均趋势。理解数学期望的计算方法，有助于我们更好地进行数据分析、风险评估和科学预测。
一、数学期望的基本定义
数学期望（Expected Value）是指一个随机变量在所有可能结果中，按照其发生的概率加权后的平均值。用符号表示为 $ E(X) $ 或 $ \mathbb{E}[X] $。
二、数学期望的计算方法
根据随机变量的类型不同，数学期望的计算方式也有所不同：
1. 离散型随机变量
若随机变量 $ X $ 的取值为 $ x_1, x_2, ..., x_n $，对应的概率分别为 $ p_1, p_2, ..., p_n $，则数学期望为：
$$
E(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i \cdot p_i
$$
2. 连续型随机变量
若随机变量 $ X $ 的概率密度函数为 $ f(x) $，则数学期望为：
$$
E(X) = \int_{-\infty}^{\infty} x \cdot f(x) \, dx
$$
三、数学期望的性质
| 性质 | 内容 |
| 线性性 | $ E(aX + b) = aE(X) + b $，其中 $ a $ 和 $ b $ 为常数 |
| 可加性 | 若 $ X $ 与 $ Y $ 是独立的，则 $ E(X+Y) = E(X) + E(Y) $ |
| 常数期望 | $ E(c) = c $，其中 $ c $ 为常数 |
| 非负性 | 若 $ X \geq 0 $，则 $ E(X) \geq 0 $ |
四、常见分布的数学期望
以下是一些常见概率分布的数学期望公式：
| 分布名称 | 数学期望 $ E(X) $ |
| 伯努利分布 | $ p $ |
| 二项分布 | $ np $ |
| 泊松分布 | $ \lambda $ |
| 均匀分布 | $ \frac{a + b}{2} $ |
| 正态分布 | $ \mu $ |
| 指数分布 | $ \frac{1}{\lambda} $ |
五、数学期望的应用场景
- 投资决策：用于评估投资项目的预期收益。
- 保险精算：计算保费和赔付金额的期望。
- 游戏设计：评估游戏的公平性和玩家期望收益。
- 数据分析：用于预测未来趋势或平均值。
六、总结
数学期望是衡量随机变量“平均值”的重要工具，无论是离散还是连续型变量，都可以通过相应的公式进行计算。掌握数学期望的计算方法和性质，有助于我们在实际问题中做出更合理的判断和决策。
| 项目 | 内容 |
| 定义 | 随机变量在大量试验中的平均值 |
| 计算方式 | 离散型：$ \sum x_i p_i $；连续型：$ \int x f(x) dx $ |
| 性质 | 线性性、可加性、常数期望、非负性 |
| 应用 | 投资、保险、游戏、数据分析等 |
通过以上内容，我们可以清晰地了解“数学期望怎么求”这一问题的核心要点，并灵活应用到实际生活中。
