【数学期望常用公式】在概率论与数理统计中，数学期望是描述随机变量在长期试验中平均结果的重要概念。它广泛应用于各个领域，如金融、工程、统计分析等。为了便于理解和应用，以下总结了常见的数学期望公式，并以表格形式进行归纳。
一、基本定义
数学期望（Expected Value）是指一个随机变量在所有可能取值上的加权平均，权重为相应的概率。设 $ X $ 是一个随机变量，其数学期望记作 $ E(X) $，计算公式如下：
- 离散型随机变量：
$$
E(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i \cdot P(X = x_i)
$$
- 连续型随机变量：
$$
E(X) = \int_{-\infty}^{\infty} x \cdot f(x) \, dx
$$
其中，$ P(X = x_i) $ 是离散情况下的概率质量函数，$ f(x) $ 是连续情况下的概率密度函数。
二、常见分布的数学期望公式
| 分布名称 | 概率分布 / 密度函数 | 数学期望 $ E(X) $ |
| 伯努利分布 | $ P(X = 1) = p, P(X = 0) = 1 - p $ | $ p $ |
| 二项分布 | $ P(X = k) = C_n^k p^k (1-p)^{n-k} $ | $ np $ |
| 泊松分布 | $ P(X = k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!} $ | $ \lambda $ |
| 均匀分布 | $ f(x) = \frac{1}{b-a}, a \leq x \leq b $ | $ \frac{a + b}{2} $ |
| 正态分布 | $ f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} $ | $ \mu $ |
| 指数分布 | $ f(x) = \lambda e^{-\lambda x}, x > 0 $ | $ \frac{1}{\lambda} $ |
| 几何分布 | $ P(X = k) = (1-p)^{k-1} p $ | $ \frac{1}{p} $ |
三、数学期望的性质
1. 线性性：
对任意常数 $ a $ 和 $ b $，有
$$
E(aX + b) = aE(X) + b
$$
2. 可加性：
若 $ X $ 和 $ Y $ 是两个随机变量，则
$$
E(X + Y) = E(X) + E(Y)
$$
3. 独立性：
若 $ X $ 和 $ Y $ 独立，则
$$
E(XY) = E(X) \cdot E(Y)
$$
4. 非负性：
若 $ X \geq 0 $，则 $ E(X) \geq 0 $
四、应用场景
数学期望在实际问题中有着广泛的用途，例如：
- 在保险行业，用于计算保费和风险评估；
- 在投资组合中，用于衡量预期收益；
- 在机器学习中，用于模型预测的平均性能评估；
- 在质量控制中，用于估计产品寿命或故障率。
五、总结
数学期望是概率论中的核心概念之一，掌握其常用公式及性质，有助于更深入地理解随机现象的规律。通过表格形式对不同分布的期望进行归纳，可以快速查阅并应用到具体问题中。希望本文能为学习者提供清晰的参考与指导。
