【三角函数的公式有哪些】在数学中，三角函数是研究三角形边角关系的重要工具，广泛应用于几何、物理、工程等多个领域。掌握常见的三角函数公式，有助于我们更高效地解决相关问题。以下是对常见三角函数公式的总结，便于理解和记忆。
一、基本三角函数定义
| 函数名称 | 定义式（直角三角形） | 定义式（单位圆） |
| 正弦（sin） | 对边 / 斜边 | y / r |
| 余弦（cos） | 邻边 / 斜边 | x / r |
| 正切（tan） | 对边 / 邻边 | y / x |
| 余切（cot） | 邻边 / 对边 | x / y |
| 正割（sec） | 斜边 / 邻边 | r / x |
| 余割（csc） | 斜边 / 对边 | r / y |
二、基本恒等式
| 公式名称 | 公式表达式 |
| 勾股恒等式 | sin²θ + cos²θ = 1 |
| 正切与余切关系 | tanθ = sinθ / cosθ |
| 余切与正切关系 | cotθ = cosθ / sinθ |
| 正割与余弦关系 | secθ = 1 / cosθ |
| 余割与正弦关系 | cscθ = 1 / sinθ |
三、诱导公式（角度转换）
| 角度变换 | 公式表达式 |
| π - θ | sin(π - θ) = sinθ, cos(π - θ) = -cosθ |
| π + θ | sin(π + θ) = -sinθ, cos(π + θ) = -cosθ |
| 2π - θ | sin(2π - θ) = -sinθ, cos(2π - θ) = cosθ |
| -θ | sin(-θ) = -sinθ, cos(-θ) = cosθ |
四、和差角公式
| 公式名称 | 公式表达式 |
| 正弦和角公式 | sin(A + B) = sinAcosB + cosAsinB |
| 正弦差角公式 | sin(A - B) = sinAcosB - cosAsinB |
| 余弦和角公式 | cos(A + B) = cosAcosB - sinAsinB |
| 余弦差角公式 | cos(A - B) = cosAcosB + sinAsinB |
| 正切和角公式 | tan(A + B) = (tanA + tanB) / (1 - tanAtanB) |
| 正切差角公式 | tan(A - B) = (tanA - tanB) / (1 + tanAtanB) |
五、倍角公式
| 公式名称 | 公式表达式 |
| 正弦倍角公式 | sin2θ = 2sinθcosθ |
| 余弦倍角公式 | cos2θ = cos²θ - sin²θ = 2cos²θ - 1 = 1 - 2sin²θ |
| 正切倍角公式 | tan2θ = 2tanθ / (1 - tan²θ) |
六、半角公式
| 公式名称 | 公式表达式 |
| 正弦半角公式 | sin(θ/2) = ±√[(1 - cosθ)/2] |
| 余弦半角公式 | cos(θ/2) = ±√[(1 + cosθ)/2] |
| 正切半角公式 | tan(θ/2) = (sinθ)/(1 + cosθ) = (1 - cosθ)/sinθ |
七、积化和差公式
| 公式名称 | 公式表达式 |
| sinAcosB | [sin(A+B) + sin(A-B)] / 2 |
| cosAsinB | [sin(A+B) - sin(A-B)] / 2 |
| cosAcosB | [cos(A+B) + cos(A-B)] / 2 |
| sinAsinB | [-cos(A+B) + cos(A-B)] / 2 |
八、和差化积公式
| 公式名称 | 公式表达式 |
| sinA + sinB | 2sin[(A+B)/2]cos[(A-B)/2] |
| sinA - sinB | 2cos[(A+B)/2]sin[(A-B)/2] |
| cosA + cosB | 2cos[(A+B)/2]cos[(A-B)/2] |
| cosA - cosB | -2sin[(A+B)/2]sin[(A-B)/2] |
通过以上表格形式的总结，可以清晰地看到三角函数的基本概念、常用公式以及各种变形方式。熟练掌握这些内容，将为后续学习三角函数的应用打下坚实基础。
