【三角函数变换公式有哪些】在数学学习中，三角函数是重要的基础内容之一，尤其在几何、物理和工程等领域有着广泛的应用。掌握常见的三角函数变换公式，有助于简化计算、解题以及推导更复杂的表达式。以下是对常见三角函数变换公式的总结，便于查阅与记忆。
一、基本三角函数关系
| 公式 | 说明 |
| $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ | 基本恒等式 |
| $1 + \tan^2\theta = \sec^2\theta$ | 与正切和余割相关 |
| $1 + \cot^2\theta = \csc^2\theta$ | 与余切和正割相关 |
二、角度加减公式
| 公式 | 说明 |
| $\sin(A \pm B) = \sin A \cos B \pm \cos A \sin B$ | 正弦的加减法公式 |
| $\cos(A \pm B) = \cos A \cos B \mp \sin A \sin B$ | 余弦的加减法公式 |
| $\tan(A \pm B) = \frac{\tan A \pm \tan B}{1 \mp \tan A \tan B}$ | 正切的加减法公式 |
三、倍角公式
| 公式 | 说明 |
| $\sin 2\theta = 2 \sin \theta \cos \theta$ | 正弦的二倍角公式 |
| $\cos 2\theta = \cos^2\theta - \sin^2\theta = 2\cos^2\theta - 1 = 1 - 2\sin^2\theta$ | 余弦的二倍角公式 |
| $\tan 2\theta = \frac{2 \tan \theta}{1 - \tan^2\theta}$ | 正切的二倍角公式 |
四、半角公式
| 公式 | 说明 |
| $\sin \frac{\theta}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos \theta}{2}}$ | 正弦的半角公式 |
| $\cos \frac{\theta}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos \theta}{2}}$ | 余弦的半角公式 |
| $\tan \frac{\theta}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos \theta}{1 + \cos \theta}} = \frac{\sin \theta}{1 + \cos \theta}$ | 正切的半角公式 |
五、积化和差与和差化积
| 公式 | 说明 |
| $\sin A \cos B = \frac{1}{2} [\sin(A+B) + \sin(A-B)]$ | 积化和差公式 |
| $\cos A \cos B = \frac{1}{2} [\cos(A+B) + \cos(A-B)]$ | 积化和差公式 |
| $\sin A \sin B = \frac{1}{2} [\cos(A-B) - \cos(A+B)]$ | 积化和差公式 |
| $\sin A + \sin B = 2 \sin \left( \frac{A+B}{2} \right) \cos \left( \frac{A-B}{2} \right)$ | 和差化积公式 |
| $\cos A + \cos B = 2 \cos \left( \frac{A+B}{2} \right) \cos \left( \frac{A-B}{2} \right)$ | 和差化积公式 |
| $\sin A - \sin B = 2 \cos \left( \frac{A+B}{2} \right) \sin \left( \frac{A-B}{2} \right)$ | 和差化积公式 |
六、其他常用公式
| 公式 | 说明 |
| $\sin(\pi - \theta) = \sin \theta$ | 对称性公式 |
| $\cos(\pi - \theta) = -\cos \theta$ | 对称性公式 |
| $\tan(\pi - \theta) = -\tan \theta$ | 对称性公式 |
| $\sin(\pi + \theta) = -\sin \theta$ | 对称性公式 |
| $\cos(\pi + \theta) = -\cos \theta$ | 对称性公式 |
| $\tan(\pi + \theta) = \tan \theta$ | 对称性公式 |
总结
以上列出的三角函数变换公式涵盖了基本关系、加减法、倍角、半角、积化和差、和差化积等多种类型，是解决三角函数问题的重要工具。在实际应用中，灵活运用这些公式可以大大提升解题效率。建议结合具体题目进行练习，以加深理解和记忆。
