【三角函数的公式】在数学中，三角函数是研究三角形边角关系的重要工具，广泛应用于物理、工程、计算机科学等领域。掌握常见的三角函数公式有助于快速解决相关问题，提高计算效率。以下是对主要三角函数公式的总结与归纳。
一、基本三角函数定义
设直角三角形中，角 $ \theta $ 的对边为 $ a $，邻边为 $ b $，斜边为 $ c $，则有：
| 函数名称 | 定义式 |
| 正弦 | $ \sin\theta = \frac{a}{c} $ |
| 余弦 | $ \cos\theta = \frac{b}{c} $ |
| 正切 | $ \tan\theta = \frac{a}{b} $ |
二、三角函数的基本关系
| 公式名称 | 公式表达式 |
| 勾股定理 | $ \sin^2\theta + \cos^2\theta = 1 $ |
| 正切与正弦/余弦 | $ \tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} $ |
| 倒数关系 | $ \csc\theta = \frac{1}{\sin\theta} $, $ \sec\theta = \frac{1}{\cos\theta} $, $ \cot\theta = \frac{1}{\tan\theta} $ |
三、诱导公式（角度转换）
| 角度变换 | 公式表达式 |
| $ \sin(-\theta) $ | $ -\sin\theta $ |
| $ \cos(-\theta) $ | $ \cos\theta $ |
| $ \tan(-\theta) $ | $ -\tan\theta $ |
| $ \sin(\pi - \theta) $ | $ \sin\theta $ |
| $ \cos(\pi - \theta) $ | $ -\cos\theta $ |
| $ \sin(\pi + \theta) $ | $ -\sin\theta $ |
| $ \cos(\pi + \theta) $ | $ -\cos\theta $ |
四、和差角公式
| 公式名称 | 公式表达式 |
| 正弦和差 | $ \sin(A \pm B) = \sin A \cos B \pm \cos A \sin B $ |
| 余弦和差 | $ \cos(A \pm B) = \cos A \cos B \mp \sin A \sin B $ |
| 正切和差 | $ \tan(A \pm B) = \frac{\tan A \pm \tan B}{1 \mp \tan A \tan B} $ |
五、倍角公式
| 公式名称 | 公式表达式 |
| 正弦倍角 | $ \sin(2\theta) = 2\sin\theta \cos\theta $ |
| 余弦倍角 | $ \cos(2\theta) = \cos^2\theta - \sin^2\theta $ |
| 正切倍角 | $ \tan(2\theta) = \frac{2\tan\theta}{1 - \tan^2\theta} $ |
六、半角公式
| 公式名称 | 公式表达式 |
| 正弦半角 | $ \sin\left(\frac{\theta}{2}\right) = \sqrt{\frac{1 - \cos\theta}{2}} $ |
| 余弦半角 | $ \cos\left(\frac{\theta}{2}\right) = \sqrt{\frac{1 + \cos\theta}{2}} $ |
| 正切半角 | $ \tan\left(\frac{\theta}{2}\right) = \frac{\sin\theta}{1 + \cos\theta} $ |
七、积化和差与和差化积
| 公式名称 | 公式表达式 |
| 积化和差 | $ \sin A \cos B = \frac{1}{2}[\sin(A+B) + \sin(A-B)] $ |
| 和差化积 | $ \sin A + \sin B = 2\sin\left(\frac{A+B}{2}\right)\cos\left(\frac{A-B}{2}\right) $ |
通过以上内容可以看出，三角函数的公式体系非常丰富且具有高度的逻辑性。熟练掌握这些公式，不仅有助于提升解题速度，还能增强对三角函数本质的理解。在实际应用中，可以根据具体问题选择合适的公式进行推导或计算。
