【期望怎么求】在概率论与统计学中，期望（Expected Value）是一个非常重要的概念，用于衡量一个随机变量在长期试验中的平均结果。无论是在数学、经济学、金融学还是工程领域，期望都扮演着关键角色。本文将总结“期望怎么求”的基本方法，并通过表格形式清晰展示不同情况下的计算方式。
一、什么是期望？
期望是随机变量在所有可能取值上加权平均的结果，权重为各个取值发生的概率。简单来说，期望就是“平均值”的一种数学表达，但它是基于概率的。
二、期望的计算方法
1. 离散型随机变量的期望
对于离散型随机变量 $ X $，其可能取值为 $ x_1, x_2, \dots, x_n $，对应的概率分别为 $ P(x_1), P(x_2), \dots, P(x_n) $，则期望公式为：
$$
E(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i \cdot P(x_i)
$$
2. 连续型随机变量的期望
对于连续型随机变量 $ X $，其概率密度函数为 $ f(x) $，则期望公式为：
$$
E(X) = \int_{-\infty}^{\infty} x \cdot f(x) \, dx
$$
3. 期望的性质
- 线性性：$ E(aX + bY) = aE(X) + bE(Y) $
- 常数的期望：$ E(c) = c $，其中 $ c $ 是常数
- 期望的非负性：若 $ X \geq 0 $，则 $ E(X) \geq 0 $
三、常见分布的期望值
以下是一些常见概率分布的期望值，便于快速查阅：
| 分布类型 | 概率质量/密度函数 | 期望值 $ E(X) $ |
| 伯努利分布 | $ P(X = k) = p^k(1-p)^{1-k} $ | $ p $ |
| 二项分布 | $ P(X = k) = C_n^k p^k (1-p)^{n-k} $ | $ np $ |
| 泊松分布 | $ P(X = k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!} $ | $ \lambda $ |
| 均匀分布 | $ f(x) = \frac{1}{b-a} $, $ a \leq x \leq b $ | $ \frac{a+b}{2} $ |
| 正态分布 | $ f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} $ | $ \mu $ |
| 指数分布 | $ f(x) = \lambda e^{-\lambda x} $, $ x \geq 0 $ | $ \frac{1}{\lambda} $ |
四、如何实际应用期望？
在实际问题中，期望可以帮助我们进行决策分析、风险评估和预测。例如：
- 在投资中，期望收益可以帮助判断哪个项目更有吸引力；
- 在保险行业，期望赔付金额用于确定保费；
- 在游戏设计中，期望值可以用来平衡游戏机制。
五、总结
“期望怎么求”其实并不复杂，关键是理解随机变量的分布类型，并根据不同的分布选择合适的计算公式。掌握期望的计算方法，有助于我们在面对不确定性时做出更理性的判断。
| 问题 | 答案 |
| 期望是什么？ | 随机变量在所有可能取值上的加权平均，权重为概率 |
| 如何计算离散型随机变量的期望？ | $ E(X) = \sum x_i \cdot P(x_i) $ |
| 如何计算连续型随机变量的期望？ | $ E(X) = \int x \cdot f(x) dx $ |
| 常见分布的期望值有哪些？ | 伯努利（p）、二项（np）、泊松（λ）、均匀（(a+b)/2）、正态（μ）、指数（1/λ） |
通过以上内容，我们可以对“期望怎么求”有一个全面而清晰的理解。希望这篇文章能帮助你更好地掌握这一基础但重要的统计概念。
