【期望与方差公式】在概率论与统计学中，期望和方差是描述随机变量核心特征的两个重要指标。期望反映了随机变量的平均取值，而方差则衡量了随机变量与其期望之间的偏离程度。掌握这些公式对于理解和分析随机现象具有重要意义。
以下是对常见随机变量的期望与方差公式的总结，便于查阅和应用。
一、期望（Expectation）
期望是随机变量在大量重复试验中所表现出的平均结果。数学上，期望记为 $ E(X) $ 或 $ \mu $。
| 随机变量类型 | 概率质量函数或密度函数 | 期望 $ E(X) $ |
| 0-1分布（伯努利分布） | $ P(X=1)=p, P(X=0)=1-p $ | $ p $ |
| 二项分布 $ B(n, p) $ | $ P(X=k) = C_n^k p^k (1-p)^{n-k} $ | $ np $ |
| 泊松分布 $ P(\lambda) $ | $ P(X=k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!} $ | $ \lambda $ |
| 均匀分布 $ U(a,b) $ | $ f(x) = \frac{1}{b-a}, a \leq x \leq b $ | $ \frac{a+b}{2} $ |
| 正态分布 $ N(\mu, \sigma^2) $ | $ f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} $ | $ \mu $ |
| 指数分布 $ Exp(\lambda) $ | $ f(x) = \lambda e^{-\lambda x}, x \geq 0 $ | $ \frac{1}{\lambda} $ |
二、方差（Variance）
方差是衡量随机变量取值波动性的指标，表示随机变量与其期望之间的差异平方的期望。数学上，方差记为 $ Var(X) $ 或 $ \sigma^2 $。
| 随机变量类型 | 概率质量函数或密度函数 | 方差 $ Var(X) $ |
| 0-1分布（伯努利分布） | $ P(X=1)=p, P(X=0)=1-p $ | $ p(1-p) $ |
| 二项分布 $ B(n, p) $ | $ P(X=k) = C_n^k p^k (1-p)^{n-k} $ | $ np(1-p) $ |
| 泊松分布 $ P(\lambda) $ | $ P(X=k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!} $ | $ \lambda $ |
| 均匀分布 $ U(a,b) $ | $ f(x) = \frac{1}{b-a}, a \leq x \leq b $ | $ \frac{(b-a)^2}{12} $ |
| 正态分布 $ N(\mu, \sigma^2) $ | $ f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} $ | $ \sigma^2 $ |
| 指数分布 $ Exp(\lambda) $ | $ f(x) = \lambda e^{-\lambda x}, x \geq 0 $ | $ \frac{1}{\lambda^2} $ |
三、小结
期望和方差是统计分析中的基础工具，广泛应用于金融、工程、物理、生物等领域。了解不同分布的期望与方差有助于我们更好地预测和控制随机事件的不确定性。
通过上述表格可以快速查找各种常见分布的期望与方差公式，帮助我们在实际问题中进行建模和分析。理解这些公式不仅有助于提高数据处理能力，也能增强对概率模型的直观认识。
