【相关系数r怎么求】在统计学中，相关系数（r）是用来衡量两个变量之间线性关系的强弱和方向的一个重要指标。它可以帮助我们了解一个变量的变化是否与另一个变量的变化有关联。本文将总结相关系数r的计算方法，并通过表格形式清晰展示。
一、相关系数r的基本概念
相关系数r的取值范围为-1到1：
- r = 1：表示完全正相关
- r = -1：表示完全负相关
- r = 0：表示没有线性相关性
- r 接近于1或-1：表示相关性较强
- r 接近于0：表示相关性较弱
二、相关系数r的计算公式
相关系数r的计算公式如下：
$$
r = \frac{n\sum xy - (\sum x)(\sum y)}{\sqrt{[n\sum x^2 - (\sum x)^2][n\sum y^2 - (\sum y)^2]}}
$$
其中：
- $ n $ 是样本数量
- $ x $ 和 $ y $ 分别是两个变量的观测值
- $ \sum xy $ 是x和y对应乘积之和
- $ \sum x $ 和 $ \sum y $ 是x和y的总和
- $ \sum x^2 $ 和 $ \sum y^2 $ 是x和y的平方和
三、相关系数r的计算步骤
| 步骤 | 内容 |
| 1 | 收集两个变量的数据对（x, y） |
| 2 | 计算每组数据的x和y的乘积（xy） |
| 3 | 求出所有x的和（Σx）、所有y的和（Σy） |
| 4 | 求出所有xy的和（Σxy） |
| 5 | 求出所有x²的和（Σx²）和y²的和（Σy²） |
| 6 | 代入公式计算r的值 |
四、示例说明
假设我们有以下数据：
| x | y | xy | x² | y² |
| 1 | 2 | 2 | 1 | 4 |
| 2 | 4 | 8 | 4 | 16 |
| 3 | 6 | 18 | 9 | 36 |
| 4 | 8 | 32 | 16 | 64 |
计算结果：
- Σx = 1 + 2 + 3 + 4 = 10
- Σy = 2 + 4 + 6 + 8 = 20
- Σxy = 2 + 8 + 18 + 32 = 60
- Σx² = 1 + 4 + 9 + 16 = 30
- Σy² = 4 + 16 + 36 + 64 = 120
- n = 4
代入公式：
$$
r = \frac{4 \times 60 - (10 \times 20)}{\sqrt{[4 \times 30 - (10)^2][4 \times 120 - (20)^2]}} = \frac{240 - 200}{\sqrt{(120 - 100)(480 - 400)}} = \frac{40}{\sqrt{20 \times 80}} = \frac{40}{\sqrt{1600}} = \frac{40}{40} = 1
$$
这说明x和y之间存在完全正相关。
五、总结
| 项目 | 内容 |
| 相关系数r | 衡量两变量间线性关系的强度和方向 |
| 取值范围 | -1 到 1 |
| 公式 | $ r = \frac{n\sum xy - (\sum x)(\sum y)}{\sqrt{[n\sum x^2 - (\sum x)^2][n\sum y^2 - (\sum y)^2]}} $ |
| 计算步骤 | 收集数据 → 计算乘积 → 求和 → 代入公式 |
| 示例结果 | 完全正相关（r=1） |
通过以上内容，我们可以清晰地理解如何计算相关系数r，并且掌握其实际应用中的意义。
