【线性代数公式】线性代数是数学中一个重要的分支，广泛应用于物理、工程、计算机科学等领域。它主要研究向量空间和线性变换的性质，涉及矩阵、行列式、特征值、向量等基本概念。以下是对线性代数中一些常见公式的总结与归纳。

一、基本概念

二、常用公式

1. 矩阵加法与乘法

- 加法：若 $ A $ 与 $ B $ 是同型矩阵，则 $ C = A + B $，其中 $ c_{ij} = a_{ij} + b_{ij} $

- 乘法：若 $ A $ 是 $ m \times n $ 矩阵，$ B $ 是 $ n \times p $ 矩阵，则 $ C = AB $ 是 $ m \times p $ 矩阵，其中

$$

c_{ij} = \sum_{k=1}^{n} a_{ik} b_{kj}

$$

2. 行列式计算（以 2×2 矩阵为例）

$$

\det\left( \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} \right) = ad - bc

$$

3. 逆矩阵（仅适用于可逆矩阵）

若 $ A $ 是可逆矩阵，则存在唯一矩阵 $ A^{-1} $，使得 $ AA^{-1} = I $

- 2×2 矩阵的逆为：

$$

A^{-1} = \frac{1}{ad - bc} \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}

$$

4. 特征值与特征向量

对于方阵 $ A $，特征方程为：

$$

\det(A - \lambda I) = 0

$$

解出的 $ \lambda $ 即为特征值，对应的非零向量 $ \mathbf{v} $ 满足：

$$

A\mathbf{v} = \lambda \mathbf{v}

$$

5. 向量点积与模长

- 点积：$ \mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = u_1v_1 + u_2v_2 + \cdots + u_nv_n $

- 模长：$ \\mathbf{v}\ = \sqrt{v_1^2 + v_2^2 + \cdots + v_n^2} $

三、线性方程组

设 $ A\mathbf{x} = \mathbf{b} $，其中：

- $ A $ 是系数矩阵

- $ \mathbf{x} $ 是未知数向量

- $ \mathbf{b} $ 是常数项

- 若 $ \det(A) \neq 0 $，则方程组有唯一解，解为 $ \mathbf{x} = A^{-1}\mathbf{b} $

- 若 $ \det(A) = 0 $，则可能无解或无穷多解

四、正交与投影

- 正交向量：$ \mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = 0 $

- 投影公式：向量 $ \mathbf{v} $ 在向量 $ \mathbf{u} $ 上的投影为：

$$

\text{proj}_{\mathbf{u}} \mathbf{v} = \frac{\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}}{\\mathbf{u}\^2} \mathbf{u}

$$

五、矩阵的秩与行列式

- 矩阵的秩：最大线性无关列（或行）的个数

- 行列式为零时，矩阵的秩小于其阶数

总结

线性代数的核心在于对矩阵、向量、行列式等基本结构的理解与应用。掌握这些公式和概念，有助于更深入地理解线性系统、数据变换、图像处理、机器学习等实际问题。通过不断练习和应用，可以更好地掌握这一数学工具。