【微积分入门基本公式】微积分是数学中非常重要的分支，广泛应用于物理、工程、经济学等领域。对于初学者来说，掌握一些基本的微积分公式是非常关键的。以下是对微积分入门阶段常用公式的总结，帮助读者更好地理解和应用这些知识。
一、导数的基本公式
导数是微积分的核心概念之一，用于描述函数的变化率。以下是常见的导数公式：
| 函数 | 导数 |
| $ f(x) = c $（常数） | $ f'(x) = 0 $ |
| $ f(x) = x^n $ | $ f'(x) = nx^{n-1} $ |
| $ f(x) = \sin x $ | $ f'(x) = \cos x $ |
| $ f(x) = \cos x $ | $ f'(x) = -\sin x $ |
| $ f(x) = e^x $ | $ f'(x) = e^x $ |
| $ f(x) = \ln x $ | $ f'(x) = \frac{1}{x} $ |
| $ f(x) = a^x $（$ a > 0 $） | $ f'(x) = a^x \ln a $ |
二、不定积分的基本公式
不定积分是导数的逆运算，用于求原函数。以下是常见的不定积分公式：
| 被积函数 | 不定积分 | ||
| $ \int dx $ | $ x + C $ | ||
| $ \int x^n dx $（$ n \neq -1 $） | $ \frac{x^{n+1}}{n+1} + C $ | ||
| $ \int \sin x dx $ | $ -\cos x + C $ | ||
| $ \int \cos x dx $ | $ \sin x + C $ | ||
| $ \int e^x dx $ | $ e^x + C $ | ||
| $ \int \frac{1}{x} dx $ | $ \ln | x | + C $ |
| $ \int a^x dx $（$ a > 0, a \neq 1 $） | $ \frac{a^x}{\ln a} + C $ |
三、基本运算法则
在进行微积分计算时，还需要掌握一些基本的运算法则：
1. 求导法则：
- 和差法则：$ (f \pm g)' = f' \pm g' $
- 乘法法则（乘积法则）：$ (fg)' = f'g + fg' $
- 商法则：$ \left( \frac{f}{g} \right)' = \frac{f'g - fg'}{g^2} $
- 链式法则：若 $ y = f(g(x)) $，则 $ y' = f'(g(x)) \cdot g'(x) $
2. 积分法则：
- 线性性质：$ \int [af(x) + bg(x)] dx = a \int f(x) dx + b \int g(x) dx $
- 换元积分法：令 $ u = g(x) $，则 $ \int f(g(x))g'(x) dx = \int f(u) du $
- 分部积分法：$ \int u dv = uv - \int v du $
四、常见函数的导数与积分表（简要）
| 函数 | 导数 | 不定积分 |
| $ x $ | $ 1 $ | $ \frac{1}{2}x^2 + C $ |
| $ x^2 $ | $ 2x $ | $ \frac{1}{3}x^3 + C $ |
| $ \sqrt{x} $ | $ \frac{1}{2\sqrt{x}} $ | $ \frac{2}{3}x^{3/2} + C $ |
| $ \sin x $ | $ \cos x $ | $ -\cos x + C $ |
| $ \cos x $ | $ -\sin x $ | $ \sin x + C $ |
| $ e^x $ | $ e^x $ | $ e^x + C $ |
| $ \ln x $ | $ \frac{1}{x} $ | $ x \ln x - x + C $ |
五、小结
微积分入门阶段的核心内容包括导数和不定积分的基本公式以及相关的运算法则。通过掌握这些基础内容，可以为后续学习更复杂的微积分问题打下坚实的基础。建议在实际练习中不断巩固这些公式，并结合图形理解其意义。
希望本篇总结能帮助你更好地理解微积分的基本知识。
