【完整三角函数公式表】在数学学习中，三角函数是一个重要的组成部分，广泛应用于几何、物理、工程等多个领域。为了帮助大家更好地理解和记忆各种三角函数的公式，本文将对常见的三角函数公式进行系统总结，并以表格的形式展示，便于查阅和复习。
一、基本三角函数定义
设角 $ \theta $ 为一个任意角，在直角坐标系中，其终边与单位圆交于点 $ (x, y) $，则有：
| 函数名称 | 定义式 |
| 正弦（sin） | $ \sin\theta = y $ |
| 余弦（cos） | $ \cos\theta = x $ |
| 正切（tan） | $ \tan\theta = \frac{y}{x} $（$ x \neq 0 $） |
| 余切（cot） | $ \cot\theta = \frac{x}{y} $（$ y \neq 0 $） |
| 正割（sec） | $ \sec\theta = \frac{1}{x} $（$ x \neq 0 $） |
| 余割（csc） | $ \csc\theta = \frac{1}{y} $（$ y \neq 0 $） |
二、三角函数的基本关系
| 公式名称 | 公式表达 |
| 基本恒等式 | $ \sin^2\theta + \cos^2\theta = 1 $ |
| 正切与余切关系 | $ \tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} $，$ \cot\theta = \frac{\cos\theta}{\sin\theta} $ |
| 正割与余弦关系 | $ \sec\theta = \frac{1}{\cos\theta} $，$ \csc\theta = \frac{1}{\sin\theta} $ |
| 平方关系 | $ 1 + \tan^2\theta = \sec^2\theta $，$ 1 + \cot^2\theta = \csc^2\theta $ |
三、诱导公式（角度变换）
| 角度变换 | 公式表达 |
| $ \sin(-\theta) $ | $ -\sin\theta $ |
| $ \cos(-\theta) $ | $ \cos\theta $ |
| $ \tan(-\theta) $ | $ -\tan\theta $ |
| $ \sin(\pi - \theta) $ | $ \sin\theta $ |
| $ \cos(\pi - \theta) $ | $ -\cos\theta $ |
| $ \tan(\pi - \theta) $ | $ -\tan\theta $ |
| $ \sin(\pi + \theta) $ | $ -\sin\theta $ |
| $ \cos(\pi + \theta) $ | $ -\cos\theta $ |
| $ \tan(\pi + \theta) $ | $ \tan\theta $ |
四、和差角公式
| 公式类型 | 公式表达 |
| 正弦和差 | $ \sin(\alpha \pm \beta) = \sin\alpha\cos\beta \pm \cos\alpha\sin\beta $ |
| 余弦和差 | $ \cos(\alpha \pm \beta) = \cos\alpha\cos\beta \mp \sin\alpha\sin\beta $ |
| 正切和差 | $ \tan(\alpha \pm \beta) = \frac{\tan\alpha \pm \tan\beta}{1 \mp \tan\alpha\tan\beta} $ |
五、倍角公式
| 公式类型 | 公式表达 |
| 正弦倍角 | $ \sin(2\theta) = 2\sin\theta\cos\theta $ |
| 余弦倍角 | $ \cos(2\theta) = \cos^2\theta - \sin^2\theta = 2\cos^2\theta - 1 = 1 - 2\sin^2\theta $ |
| 正切倍角 | $ \tan(2\theta) = \frac{2\tan\theta}{1 - \tan^2\theta} $ |
六、半角公式
| 公式类型 | 公式表达 |
| 正弦半角 | $ \sin\left(\frac{\theta}{2}\right) = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos\theta}{2}} $ |
| 余弦半角 | $ \cos\left(\frac{\theta}{2}\right) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos\theta}{2}} $ |
| 正切半角 | $ \tan\left(\frac{\theta}{2}\right) = \frac{\sin\theta}{1 + \cos\theta} = \frac{1 - \cos\theta}{\sin\theta} $ |
七、积化和差公式
| 公式类型 | 公式表达 |
| 正弦乘积 | $ \sin\alpha\sin\beta = \frac{1}{2}[\cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta)] $ |
| 余弦乘积 | $ \cos\alpha\cos\beta = \frac{1}{2}[\cos(\alpha - \beta) + \cos(\alpha + \beta)] $ |
| 正弦与余弦乘积 | $ \sin\alpha\cos\beta = \frac{1}{2}[\sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta)] $ |
八、和差化积公式
| 公式类型 | 公式表达 |
| 正弦和差 | $ \sin\alpha + \sin\beta = 2\sin\left(\frac{\alpha + \beta}{2}\right)\cos\left(\frac{\alpha - \beta}{2}\right) $ |
| 正弦差 | $ \sin\alpha - \sin\beta = 2\cos\left(\frac{\alpha + \beta}{2}\right)\sin\left(\frac{\alpha - \beta}{2}\right) $ |
| 余弦和差 | $ \cos\alpha + \cos\beta = 2\cos\left(\frac{\alpha + \beta}{2}\right)\cos\left(\frac{\alpha - \beta}{2}\right) $ |
| 余弦差 | $ \cos\alpha - \cos\beta = -2\sin\left(\frac{\alpha + \beta}{2}\right)\sin\left(\frac{\alpha - \beta}{2}\right) $ |
九、反三角函数基础公式（简要）
| 函数名称 | 定义域 | 值域 | 重要性质 |
| 反正弦（arcsin） | $ [-1, 1] $ | $ [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] $ | $ \arcsin(\sin x) = x $（当 $ x \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] $） |
| 反余弦（arccos） | $ [-1, 1] $ | $ [0, \pi] $ | $ \arccos(\cos x) = x $（当 $ x \in [0, \pi] $） |
| 反正切（arctan） | $ (-\infty, +\infty) $ | $ (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}) $ | $ \arctan(\tan x) = x $（当 $ x \in (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}) $） |
十、常用特殊角三角函数值表
| 角度（°） | 弧度（rad） | sinθ | cosθ | tanθ |
| 0 | 0 | 0 | 1 | 0 |
| 30 | $ \frac{\pi}{6} $ | $ \frac{1}{2} $ | $ \frac{\sqrt{3}}{2} $ | $ \frac{\sqrt{3}}{3} $ |
| 45 | $ \frac{\pi}{4} $ | $ \frac{\sqrt{2}}{2} $ | $ \frac{\sqrt{2}}{2} $ | 1 |
| 60 | $ \frac{\pi}{3} $ | $ \frac{\sqrt{3}}{2} $ | $ \frac{1}{2} $ | $ \sqrt{3} $ |
| 90 | $ \frac{\pi}{2} $ | 1 | 0 | 无定义 |
通过以上总结，我们可以清晰地看到三角函数的多种公式及其应用场景。掌握这些公式不仅有助于解题，还能加深对三角函数本质的理解。建议在实际应用中结合图形记忆，提高学习效率。
