【什么是负定矩阵】负定矩阵是线性代数中的一个重要概念，常用于优化、微分方程和统计学等领域。它与正定矩阵相对应，但具有相反的性质。理解负定矩阵有助于分析二次型的极值、判断函数的凸性以及在数值计算中评估矩阵的稳定性。
一、
负定矩阵是指一个对称矩阵，其所有特征值均为负数。对于任意非零向量 x，二次型 xᵀAx 始终小于零。这与正定矩阵形成对比，正定矩阵的二次型始终为正。
负定矩阵在数学和工程中有着广泛的应用，例如在优化问题中，负定矩阵可以表示目标函数的局部最大值点；在系统稳定性分析中，负定矩阵可用于判断系统的动态行为是否稳定。
此外，负定矩阵的判定方法包括检查特征值、主子式符号等。若一个矩阵的所有奇数阶主子式为负，偶数阶主子式为正，则该矩阵为负定矩阵。
二、表格对比：正定矩阵 vs 负定矩阵
| 特性 | 正定矩阵 | 负定矩阵 |
| 定义 | 对称矩阵，所有特征值 > 0 | 对称矩阵，所有特征值 < 0 |
| 二次型 | xᵀAx > 0（对任意非零 x） | xᵀAx < 0（对任意非零 x） |
| 主子式 | 所有主子式 > 0 | 偶数阶主子式 > 0，奇数阶主子式 < 0 |
| 逆矩阵 | 存在且也是正定的 | 存在且也是负定的 |
| 应用 | 凸函数、最小值点、稳定性分析 | 非凸函数、最大值点、系统不稳定情况 |
| 例子 | 矩阵 [[2, 1], [1, 2]] | 矩阵 [[-2, -1], [-1, -2]] |
三、注意事项
1. 负定矩阵必须是对称矩阵，否则无法定义其特征值。
2. 在实际应用中，负定矩阵可能与半负定矩阵混淆，后者允许部分特征值为零。
3. 判断矩阵是否为负定，通常需要先验证其对称性，再进行特征值或主子式的计算。
通过以上内容可以看出，负定矩阵虽然在形式上与正定矩阵相对，但在实际应用中具有独特的意义和用途。掌握其定义和性质，有助于更深入地理解矩阵在不同领域的表现与作用。
