【三角形的五个心定义与性质】在几何学中，三角形的“心”是三角形中具有特殊意义的几个点，它们分别与三角形的边、角、高线、中线等有密切关系。常见的“五心”包括：重心、内心、外心、垂心和旁心。以下是对这五个“心”的定义与性质的总结。
一、重心（Centroid）
定义：三角形三条中线的交点。
性质：
- 重心将每条中线分为2:1的比例，靠近顶点的部分为2份，靠近边的部分为1份。
- 重心是三角形的质心，若三角形由均匀材料制成，则重心是其平衡点。
- 重心到三个顶点的距离之和最小。
二、内心（Incenter）
定义：三角形三个内角平分线的交点。
性质：
- 内心是三角形内切圆的圆心，即与三边都相切的圆。
- 内心到三边的距离相等，均为内切圆半径。
- 内心始终位于三角形内部。
三、外心（Circumcenter）
定义：三角形三条垂直平分线的交点。
性质：
- 外心是三角形外接圆的圆心，即经过三个顶点的圆。
- 外心到三个顶点的距离相等，均为外接圆半径。
- 在锐角三角形中，外心位于三角形内部；在直角三角形中，外心在斜边中点；在钝角三角形中，外心在三角形外部。
四、垂心（Orthocenter）
定义：三角形三条高的交点。
性质：
- 垂心是三角形三条高的交点，高是从一个顶点向对边作的垂线。
- 在锐角三角形中，垂心在三角形内部；在直角三角形中，垂心在直角顶点；在钝角三角形中，垂心在三角形外部。
- 垂心与外心、重心在欧拉线上。
五、旁心（Excenter）
定义：三角形两个外角平分线和一个内角平分线的交点。
性质：
- 旁心是三角形的一个旁切圆的圆心，该圆与一边及另两边的延长线相切。
- 每个三角形有三个旁心，分别对应于不同的边。
- 旁心位于三角形外部，且到三边的距离相等。
五心对比表
| 心的名称 | 定义 | 性质 |
| 重心 | 三条中线交点 | 分中线为2:1，质心，平衡点 |
| 内心 | 三条角平分线交点 | 内切圆圆心，到三边距离相等 |
| 外心 | 三条垂直平分线交点 | 外接圆圆心，到三顶点距离相等 |
| 垂心 | 三条高线交点 | 高线交点，位置随三角形类型变化 |
| 旁心 | 两条外角平分线与一条内角平分线交点 | 旁切圆圆心，与一边及两边延长线相切 |
通过了解这五个“心”，我们可以更深入地理解三角形的几何特性，并在实际应用中发挥重要作用，如工程设计、计算机图形学、数学竞赛等领域。
