【如何求直线与平面所成的角】在立体几何中，直线与平面所成的角是一个重要的概念，常用于解决空间几何问题。理解这一角度的定义和求解方法，有助于提升空间想象能力和逻辑推理能力。
一、基本概念
直线与平面所成的角，是指该直线与它在平面上的投影之间的夹角。这个角的范围通常在0°到90°之间。
- 关键点：直线与平面所成的角是该直线与其在平面上的投影之间的最小正角。
- 特殊情况：若直线与平面垂直，则所成角为90°；若直线在平面内或与平面平行，则所成角为0°。
二、求解步骤总结
| 步骤 | 内容说明 |
| 1 | 确定直线的方向向量（设为 v） |
| 2 | 确定平面的法向量（设为 n） |
| 3 | 计算直线与法向量之间的夹角 θ（利用向量点积公式） |
| 4 | 所求的直线与平面所成的角 α = 90° - θ |
| 5 | 若 θ > 90°，则取其补角进行计算 |
三、公式推导
设直线方向向量为 v，平面法向量为 n，则：
$$
\cos\theta = \frac{
$$
所求直线与平面所成的角为：
$$
\alpha = 90^\circ - \theta
$$
或等价地：
$$
\sin\alpha = \frac{
$$
四、实例分析
假设直线方向向量为 v = (1, 2, 3)，平面法向量为 n = (2, -1, 1)。
1. 计算点积：
$$
\vec{v} \cdot \vec{n} = 1 \times 2 + 2 \times (-1) + 3 \times 1 = 2 - 2 + 3 = 3
$$
2. 计算模长：
$$
$$
3. 求夹角 θ：
$$
\cos\theta = \frac{3}{\sqrt{14} \cdot \sqrt{6}} = \frac{3}{\sqrt{84}} \approx 0.327
$$
4. 求直线与平面所成的角 α：
$$
\alpha = 90^\circ - \theta \approx 90^\circ - 71^\circ = 19^\circ
$$
五、注意事项
- 确保方向向量与法向量的选取正确。
- 注意单位的一致性（如角度单位为度数或弧度）。
- 当结果超过90°时，需调整为锐角处理。
六、总结
| 要点 | 内容 | ||||||
| 定义 | 直线与平面所成的角是直线与它在平面上的投影之间的夹角 | ||||||
| 方法 | 利用向量点积计算直线与法向量的夹角，再通过余角得到所求角 | ||||||
| 公式 | $\sin\alpha = \frac{ | \vec{v} \cdot \vec{n} | }{ | \vec{v} | \cdot | \vec{n} | }$ |
| 实例 | 通过具体数值计算可得实际角度值 | ||||||
| 注意事项 | 方向向量与法向量的正确选择是关键 |
通过以上内容的学习与练习，可以更准确地掌握如何求解直线与平面所成的角，为后续的空间几何问题打下坚实基础。
免责声明：本答案或内容为用户上传，不代表本网观点。其原创性以及文中陈述文字和内容未经本站证实，对本文以及其中全部或者部分内容、文字的真实性、完整性、及时性本站不作任何保证或承诺，请读者仅作参考，并请自行核实相关内容。 如遇侵权请及时联系本站删除。
