【求极限lim的常用公式有哪些】在高等数学中，求极限是微积分的重要内容之一。掌握一些常用的极限公式，能够帮助我们快速、准确地解决各类极限问题。以下是一些常见的极限公式及其适用条件，便于大家在学习和考试中灵活运用。
一、基本极限公式
| 公式 | 说明 |
| $\lim_{x \to a} c = c$ | 常数函数的极限等于常数本身 |
| $\lim_{x \to a} x = a$ | 自变量趋于某一点时，其极限即为该点值 |
| $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ | 三角函数中的重要极限 |
| $\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1$ | 指数函数的极限形式 |
| $\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + x)}{x} = 1$ | 对数函数的极限形式 |
| $\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2} = \frac{1}{2}$ | 三角函数与多项式的结合 |
二、无穷小量与无穷大量比较
| 公式 | 说明 |
| $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ | 无穷小量的等价替换 |
| $\lim_{x \to \infty} \frac{\ln x}{x} = 0$ | 对数函数增长慢于多项式函数 |
| $\lim_{x \to \infty} \frac{x^n}{e^x} = 0$ | 指数函数增长远快于多项式函数 |
| $\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2} = \frac{1}{2}$ | 无穷小量的等价替换应用 |
三、洛必达法则（适用于0/0或∞/∞型）
当遇到$\frac{0}{0}$或$\frac{\infty}{\infty}$型未定式时，可以使用洛必达法则：
$$
\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}
$$
注意：使用前需确认满足条件，且可能需要多次使用。
四、泰勒展开与等价无穷小替换
| 函数 | 泰勒展开式（x→0） | 等价无穷小 |
| $\sin x$ | $x - \frac{x^3}{6} + \cdots$ | $x$ |
| $\cos x$ | $1 - \frac{x^2}{2} + \cdots$ | $1 - \frac{x^2}{2}$ |
| $e^x$ | $1 + x + \frac{x^2}{2} + \cdots$ | $1 + x$ |
| $\ln(1 + x)$ | $x - \frac{x^2}{2} + \cdots$ | $x$ |
| $\tan x$ | $x + \frac{x^3}{3} + \cdots$ | $x$ |
五、常见极限类型总结
| 极限类型 | 公式示例 | 解法思路 |
| 0/0型 | $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}$ | 使用等价无穷小或洛必达法则 |
| ∞/∞型 | $\lim_{x \to \infty} \frac{x^2 + 1}{x^3 - 1}$ | 分子分母同除以最高次项 |
| 1^∞型 | $\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x$ | 转化为自然对数形式或利用已知极限 |
| 0·∞型 | $\lim_{x \to 0^+} x \ln x$ | 转换为0/0或∞/∞型再处理 |
六、结语
掌握这些常用的极限公式和解题方法，不仅有助于提高解题效率，也能加深对极限概念的理解。在实际应用中，应根据题目特点选择合适的公式和方法，必要时可结合图形、数值估算等多种手段辅助判断。
希望以上内容能对你的学习有所帮助！
