【求导公式大全高等数学】在高等数学中，导数是研究函数变化率的重要工具，广泛应用于微积分、物理、工程等领域。掌握常见的求导公式是学习微积分的基础。以下是对常见求导公式的总结，便于查阅与记忆。
一、基本初等函数的导数公式
| 函数表达式 | 导数 |
| $ y = C $（C为常数） | $ y' = 0 $ |
| $ y = x^n $（n为实数） | $ y' = nx^{n-1} $ |
| $ y = a^x $（a>0, a≠1） | $ y' = a^x \ln a $ |
| $ y = e^x $ | $ y' = e^x $ |
| $ y = \log_a x $（a>0, a≠1） | $ y' = \frac{1}{x \ln a} $ |
| $ y = \ln x $ | $ y' = \frac{1}{x} $ |
| $ y = \sin x $ | $ y' = \cos x $ |
| $ y = \cos x $ | $ y' = -\sin x $ |
| $ y = \tan x $ | $ y' = \sec^2 x $ |
| $ y = \cot x $ | $ y' = -\csc^2 x $ |
| $ y = \sec x $ | $ y' = \sec x \tan x $ |
| $ y = \csc x $ | $ y' = -\csc x \cot x $ |
二、复合函数的导数（链式法则）
若 $ y = f(u) $，且 $ u = g(x) $，则：
$$
\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}
$$
例如：
- 若 $ y = \sin(3x) $，则 $ y' = \cos(3x) \cdot 3 = 3\cos(3x) $
- 若 $ y = (x^2 + 1)^5 $，则 $ y' = 5(x^2 + 1)^4 \cdot 2x = 10x(x^2 + 1)^4 $
三、反函数的导数
设 $ y = f(x) $ 的反函数为 $ x = f^{-1}(y) $，则：
$$
\frac{dx}{dy} = \frac{1}{\frac{dy}{dx}} \quad \text{（当 } \frac{dy}{dx} \neq 0 \text{）}
$$
四、高阶导数
对函数进行多次求导，得到高阶导数。例如：
- 一阶导数：$ y' = \frac{dy}{dx} $
- 二阶导数：$ y'' = \frac{d^2y}{dx^2} $
- 三阶导数：$ y''' = \frac{d^3y}{dx^3} $
五、隐函数的导数
若函数由方程 $ F(x, y) = 0 $ 隐含定义，则利用隐函数求导法：
$$
\frac{dy}{dx} = -\frac{\frac{\partial F}{\partial x}}{\frac{\partial F}{\partial y}}
$$
六、参数方程的导数
若 $ x = x(t) $，$ y = y(t) $，则：
$$
\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}} \quad \text{（当 } \frac{dx}{dt} \neq 0 \text{）}
$$
七、常用导数公式小结
| 类型 | 公式示例 |
| 常数函数 | $ (C)' = 0 $ |
| 幂函数 | $ (x^n)' = nx^{n-1} $ |
| 指数函数 | $ (a^x)' = a^x \ln a $，$ (e^x)' = e^x $ |
| 对数函数 | $ (\log_a x)' = \frac{1}{x \ln a} $，$ (\ln x)' = \frac{1}{x} $ |
| 三角函数 | $ (\sin x)' = \cos x $，$ (\cos x)' = -\sin x $，$ (\tan x)' = \sec^2 x $ |
| 反三角函数 | $ (\arcsin x)' = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} $，$ (\arccos x)' = -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} $，$ (\arctan x)' = \frac{1}{1 + x^2} $ |
通过系统地掌握这些导数公式，可以更高效地解决微积分中的各类问题。建议结合实际练习题加深理解，并灵活运用各种求导方法。
