【切平面方程怎么求】在三维几何中，切平面是一个与曲面在某一点处相切的平面。求解切平面方程是数学、物理和工程领域中常见的问题之一。掌握其求法有助于理解曲面在该点的局部性质。
一、切平面方程的基本概念
切平面是指在给定曲面上某一点处，与该点处的曲面“接触”并具有相同方向的平面。它的方程可以通过该点的坐标和曲面在该点的梯度（或法向量）来确定。
二、求切平面方程的方法总结
| 步骤 | 内容说明 |
| 1. 确定曲面表达式 | 通常以显函数形式 $ z = f(x, y) $ 或隐函数形式 $ F(x, y, z) = 0 $ 表示。 |
| 2. 找到切点坐标 | 确定曲面上的某一点 $ P_0(x_0, y_0, z_0) $，这是切平面的参考点。 |
| 3. 计算偏导数或梯度 | - 若为显函数 $ z = f(x, y) $，则法向量为 $ \left( -\frac{\partial f}{\partial x}, -\frac{\partial f}{\partial y}, 1 \right) $ - 若为隐函数 $ F(x, y, z) = 0 $，则法向量为 $ \nabla F = (F_x, F_y, F_z) $ |
| 4. 写出切平面方程 | 切平面方程的一般形式为：$ A(x - x_0) + B(y - y_0) + C(z - z_0) = 0 $，其中 $ (A, B, C) $ 是法向量。 |
三、实例分析
例1：显函数 $ z = f(x, y) $
设 $ z = x^2 + y^2 $，求在点 $ (1, 1, 2) $ 处的切平面方程。
- 偏导数：
$ f_x = 2x $, $ f_y = 2y $
在点 $ (1, 1) $ 处，$ f_x = 2 $, $ f_y = 2 $
- 法向量：
$ (-f_x, -f_y, 1) = (-2, -2, 1) $
- 切平面方程：
$ -2(x - 1) - 2(y - 1) + (z - 2) = 0 $
化简得：$ -2x - 2y + z = -2 $
例2：隐函数 $ F(x, y, z) = 0 $
设 $ F(x, y, z) = x^2 + y^2 + z^2 - 9 = 0 $，求在点 $ (1, 2, 2) $ 处的切平面方程。
- 求梯度：
$ F_x = 2x $, $ F_y = 2y $, $ F_z = 2z $
在点 $ (1, 2, 2) $ 处，$ F_x = 2 $, $ F_y = 4 $, $ F_z = 4 $
- 法向量：
$ (2, 4, 4) $
- 切平面方程：
$ 2(x - 1) + 4(y - 2) + 4(z - 2) = 0 $
化简得：$ 2x + 4y + 4z = 18 $，即 $ x + 2y + 2z = 9 $
四、总结
| 类型 | 公式 | 适用情况 |
| 显函数 | $ -f_x(x - x_0) - f_y(y - y_0) + (z - z_0) = 0 $ | $ z = f(x, y) $ |
| 隐函数 | $ F_x(x - x_0) + F_y(y - y_0) + F_z(z - z_0) = 0 $ | $ F(x, y, z) = 0 $ |
通过上述方法，可以系统地求出任意曲面在某一点处的切平面方程。关键在于正确识别曲面形式，并准确计算偏导数或梯度，从而得到法向量。
