点积（内积）

假设我们有两个三维向量A和B，它们的坐标分别是\( A(x_1, y_1, z_1) \) 和 \( B(x_2, y_2, z_2) \)。那么这两个向量的点积可以通过以下公式计算：

\[ A \cdot B = x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2 \]

点积的结果是一个标量值，反映了两个向量之间的相似程度。如果点积为正，则说明两个向量方向大致相同；如果为负，则方向相反；如果为零，则说明两个向量垂直。

叉积（外积）

对于同样两个向量A和B，它们的叉积结果将是一个新的向量C，其方向由右手定则决定，大小等于两个向量所形成的平行四边形的面积。在坐标系中，叉积的计算公式如下：

\[ C = A \times B = \begin{vmatrix} i & j & k \\ x_1 & y_1 & z_1 \\ x_2 & y_2 & z_2 \end{vmatrix} \]

展开后得到：

\[ C = (y_1z_2 - z_1y_2)i - (x_1z_2 - z_1x_2)j + (x_1y_2 - y_1x_2)k \]

这里的i、j、k分别代表单位向量沿x轴、y轴和z轴的方向。

通过上述公式，我们可以清楚地看到如何利用向量的坐标来表达这两种重要的向量运算。理解这些基本原理有助于解决更多复杂的数学问题及实际应用中的相关挑战。无论是计算几何中的角度判断，还是物理学中的力矩分析，掌握向量的基本运算都是不可或缺的基础技能。