在数学领域中，一元二次方程是基础且重要的内容之一。它的一般形式为ax² + bx + c = 0（其中a ≠ 0）。对于这样一个方程，我们可以通过一系列严谨而巧妙的步骤来推导出其求根公式。

首先，我们从方程ax² + bx + c = 0开始。为了简化问题，我们将方程两边同时除以a，得到x² + (b/a)x + (c/a) = 0。接下来，我们将这个方程改写成(x + p)²的形式，这里p是一个待定系数。

为了完成配方，我们需要找到合适的p值。根据完全平方公式，我们知道(x + p)² = x² + 2px + p²。因此，为了使原方程与(x + p)²相等，必须满足2p = b/a和p² = c/a这两个条件。

由2p = b/a可得p = -b/(2a)，将其代入p² = c/a后，可以解得c/a = (-b/(2a))²。进一步整理后，我们得到了一个关于x的新表达式：(x - b/(2a))² = (b² - 4ac)/(4a²)。

接下来，我们对方程两边开平方，得到x - b/(2a) = ±√[(b² - 4ac)/(4a²)]。最后，将-b/(2a)移到右边，即可得到最终的求根公式：x = [-b ± √(b² - 4ac)] / (2a)。

通过上述推导过程，我们可以清晰地看到，一元二次方程的求根公式是如何一步步从原始方程推导出来的。这一公式不仅适用于所有形如ax² + bx + c = 0的标准型一元二次方程，而且为我们解决实际问题提供了极大的便利。无论是工程计算还是科学研究，这个公式都发挥着不可替代的作用。